Fonksiyon, matematikte A ve B gibi iki boş olmayan küme arasında kurulan özel bir ilişkidir. Bu ilişkiye göre, A kümesinin (Tanım kümesi) her bir elemanı, B kümesinin (Değer kümesi) yalnızca bir elemanına eşlenir. Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için, tanım kümesinde boşta herhangi bir eleman kalmamalı ve her eleman değer kümesinde sadece bir elemanla eşleşmelidir. Değer kümesinde ise boşta eleman kalabilir.

Örneğin, A kümesindeki elemanlar Ahmet, Mehmet ve Ali; B kümesindeki elemanlar ise Ayşe, Ece, Esra ve Elif olsun. A kümesinden B kümesine bir fonksiyon tanımladığımızda, A'daki elemanları B'deki elemanlara eşlemeliyiz. Fonksiyonlar liste yöntemi veya şema yöntemiyle gösterilebilir. A'dan B'ye tanımlayacağımız bir fonksiyonu liste yöntemiyle şu şekilde ifade edebiliriz:

Bu, sadece yapılabilecek fonksiyonlardan bir tanesidir. A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısı, B kümesinin eleman sayısının A kümesinin eleman sayısına üssü alınarak hesaplanır. Yani, A kümesinde 3, B kümesinde 4 eleman varsa, tanımlanabilecek fonksiyon sayısı 4^3 yani 64’tür. Örneğin, yukarıdaki fonksiyonda 'Ayşe' elemanının tanım kümesinde karşılığı yoktur; fakat bu yine de bir fonksiyondur. Çünkü önemli olan, tanım kümesinde boşta eleman kalmamasıdır.

Fonksiyonlar, bire-bir, örten, içine, sabit, birim fonksiyonlar olarak çeşitlendirilebilir. Bu fonksiyon türleri kullanılarak çeşitli fonksiyon işlemleri yapılır.

A kümesinden B kümesine tanımlanan bir fonksiyonda, görüntü kümesinin değer kümesine eşit olmadığı fonksiyonlara "içine fonksiyon" denir. Yani, değer kümesindeki bazı elemanların karşılıkları tanım kümesinde yoktur. Diğer bir deyişle, örten olmayan fonksiyonlardır. Örneğin, yukarıda tanımladığımız fonksiyon bir içine fonksiyon örneğidir. Çünkü 'Ayşe' elemanının tanım kümesinde karşılığı yoktur.

Görüntü kümesi, tanım kümesinin elemanlarının değer kümesindeki karşılık geldiği elemanlar toplamıdır. Yukarıdaki fonksiyonda tanımlanan görüntü kümesi 'Esra, Elif, Ece'dir. Örten fonksiyon ise değer kümesi ile görüntü kümesinin aynı olduğu fonksiyonlardır.

Fonksiyonların özellikleri ve türleri matematikte geniş bir çalışma alanına sahiptir. Bire-bir fonksiyonlar, her elemanın yalnızca bir elemana karşılık geldiği fonksiyonlardır. Örten fonksiyonlar, değer kümesindeki her elemanın en az bir tanım kümesi elemanına karşılık geldiği fonksiyonlardır. Sabit fonksiyonlar, tanım kümesindeki her elemanın aynı değer kümesi elemanına eşlendiği fonksiyonlardır. Birim fonksiyonlar ise tanım ve değer kümesinin aynı olduğu ve her elemanın kendisiyle eşlendiği fonksiyonlardır.

Fonksiyonlar, birçok matematiksel ve uygulamalı bilimde önemli bir rol oynar. Örneğin, mühendislik, ekonomi, fizik ve bilgisayar bilimleri gibi alanlarda fonksiyonlar kullanılarak çeşitli problemler çözülebilir ve modellemeler yapılabilir.