Matematikte, fonksiyonlar ve bu fonksiyonların birleşimi önemli bir yere sahiptir. Bu bağlamda, bileşke fonksiyonlar, yani Gof fonksiyonları, iki fonksiyonun birleşimi sonucunda ortaya çıkan yeni bir fonksiyon olarak tanımlanır.

İki fonksiyon f: A → B ve g: B → C olmak üzere, f(x) = y ve g(y) = z olsun. Bu durumda, Gof fonksiyonu şu şekilde tanımlanır:

Gof: A → C, (Gof)(x) = g(f(x)) = z. Bu fonksiyona f ile g'nin bileşke fonksiyonu denir.

Fonksiyon işlemini, bir fabrikadaki ürünün çeşitli makineden geçmesi gibi düşünebiliriz. Gof fonksiyonu, bir ürünün iki makineden ardışık olarak geçmesiyle meydana gelen işlemleri temsil eder.

R'den R'ye tanımlı f(x) = 2x + 3 ve g(x) = 4x + 1 fonksiyonları verildiğinde, (Gof)(x) ve (Fog)(x) fonksiyonlarını bulalım:

Burada, x ürünü önce f makinesine girmekte, daha sonra f'den çıktığı şekliyle g makinesine girmektedir. İki işlemin ardından ürün 8 kat büyümüş ve yanına 13 adet malzeme eklenmiştir. [(Gof)(x) = 8x + 13]

R'den R'ye tanımlı f, g ve h fonksiyonları şöyle verilmiştir:

Fogoh(3) değerini bulalım:

f[g(h(x))] = f[g(3x/2)] = f[3(x+6)/2] = 3[(2x-3)+6]/2 = [6x-9+18]/2

Fogoh(x) = (6x+9)/2

Fogoh(3) = (6*3+9)/2 = 27/2

R'den R'ye tanımlı f fonksiyonu f(2x+4) = 8x+13 şeklinde veriliyor. Verilen bilgilere göre:

A) 2x+4 fonksiyonunun tersi (x-4)/2'dir. Yani, f fonksiyonunda x gördüğümüz yere (x-4)/2 yazarsak f(x) fonksiyonunu bulmuş olacağız.

f(2[(x-4)/2]+4) = 8[(x-4)/2]+13

f(x) = (8x-32)/2+13 = 4x-16+13 = 4x-3

f(x) = 4x-3

B) f(2) = 4*2-3 = 5

C) f(x+2) = 4(x+2)-3 = 4x+4-3 = 4x+1

f(x+2) = 4x+1