Birebir örten fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanın, değer kümesinde yalnızca bir karşılığı varsa ve her eleman bir kez ve yalnızca bir kez kullanılıyorsa, bu tür fonksiyonlara denir. Bu fonksiyonlar, hem birebir (enjektif) hem de örten (sürjektif) özelliklere sahiptir. Aşağıda bu kavramları daha ayrıntılı inceleyeceğiz.

Bir fonksiyon, tanım kümesindeki farklı elemanların değer kümesinde farklı elemanlara karşılık gelmesi durumunda birebirdir. Yani, f(x₁) = f(x₂) ise x₁ = x₂ olmalıdır. Örneğin:

X değiştikçe, 2 katının 5 fazlası da değişecektir. Bunu kanıtlamak için iki farklı elemanın x₁ ve x₂'nin görüntülerinin eşit olduğunu varsayalım:

f(x₁) = f(x₂) ise

2x₁ - 5 = 2x₂ - 5

Buradan x₁ = x₂ çıkar. Dolayısıyla, bu fonksiyon birebirdir.

f: ℝ → ℝ ve f(x) = x² - 2 fonksiyonunu ele alalım. Bu fonksiyon birebir midir?

Çözüm: Bu durumda, hem f(-3) = 7 hem de f(3) = 7 olur. Yani, her sayının hem negatif hem de pozitif değeri aynı görüntüyü vermektedir. Bu nedenle, bu fonksiyon birebir değildir. Genel bir çözüm yaparsak:

f(x₁) = f(x₂) ise

x₁² - 2 = x₂² - 2

Buradan x₁² = x₂² ve x₁ = ±x₂ elde ederiz. Bu, fonksiyonun birebir olmadığını gösterir.

Bir fonksiyon, değer kümesindeki her elemanın tanım kümesindeki en az bir eleman tarafından görüntülendiği durumda örten fonksiyondur. Yani, değer kümesindeki her eleman en az bir kere kullanılmış olmalıdır. Örneğin:

Birebir örten fonksiyon, hem birebir hem de örten fonksiyonların özelliklerini taşıyan fonksiyonlardır. Bu durumda, her eleman yalnızca bir kere ve yalnızca bir kere kullanılmış olur. Örneğin, f: ℝ → ℝ ve f(x) = 2x - 5 fonksiyonu birebir örten bir fonksiyondur.

Çözüm: Bu bağıntının fonksiyon olabilmesi için her kişinin en çok bir ve en az bir adet mesleği olmalıdır. Ancak, gerçekte bazı kişilerin iki mesleği olabilir ya da bazı kişilerin hiç mesleği olmayabilir. Bu nedenle, bu bağıntı bir fonksiyon değildir.

Çözüm: Bu bağıntının fonksiyon olabilmesi için her hayvanın en fazla ve en az bir adet yuvası olmalıdır. Ancak, gerçekte bazı hayvanların yuvaları olmayabilir. Bu nedenle, bu bağıntı bir fonksiyon değildir.

Çözüm: Bu bağıntının bir fonksiyon olabilmesi için her çocuğun en fazla ve en az bir adet babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun kesinlikle bir babası vardır ve bir çocuğun iki babası olamaz. Bu nedenle, bu bağıntı bir fonksiyondur.

Çözüm: Bu bağıntı da bir fonksiyondur. Her işçinin bir ücreti kesinlikle bulunmaktadır. Hiçbir işçiye iki farklı ücret verilmez. Bu nedenle, bu bağıntı bir fonksiyondur.

Fonksiyonlar, genellikle yapılan eşlemeyi anlatan kurallarla verilir. Birebir örten fonksiyonlar, matematiksel analizde ve diğer bilim dallarında önemli bir yere sahiptir ve çeşitli problemlerin çözümünde kullanılır.