Olasılık fonksiyonu, bir rassal değişkenin belirli bir değere sahip olma olasılığını ifade eden bir fonksiyondur. Olasılık fonksiyonları, ayrık ve sürekli rassal değişkenler için farklı şekilde tanımlanır. Ayrık rassal değişkenler için bu fonksiyon "olasılık kütle fonksiyonu" (PMF) olarak adlandırılırken, sürekli rassal değişkenler için "olasılık yoğunluk fonksiyonu" (PDF) olarak adlandırılır.

Olasılık kütle fonksiyonu, ayrık bir rassal değişkenin belirli bir değere sahip olma olasılığını gösterir. Matematiksel olarak, ayrık bir rassal değişken \( X \) için olasılık kütle fonksiyonu \( f_X(x) \) şu şekilde tanımlanır:

\[f_X(x) = \begin{cases} \Pr(X = x), & \text{eğer } x \in S \\0, & \text{eğer } x \notin S \end{cases}\]

Burada \( S \), rassal değişken \( X \)'in alabileceği değerler kümesidir. Dikkat edilmesi gereken nokta, \( f_X(x) \) fonksiyonunun tüm reel sayılar için tanımlı olmasıdır, ancak birçok değeri için olasılık sıfırdır.

Olasılık yoğunluk fonksiyonu, sürekli rassal değişkenler için tanımlanır ve belirli bir değere sahip olma olasılığını doğrudan vermez. Bunun yerine, belirli bir aralık içindeki olasılığı hesaplamak için kullanılır. Sürekli rassal değişken \( Y \) için olasılık yoğunluk fonksiyonu \( f_Y(y) \) şu şekilde tanımlanır:

\[\Pr(a \leq Y \leq b) = \int_a^b f_Y(y) \, dy\]

Burada \( a \) ve \( b \) arası belirli bir değer aralığını temsil eder. \( f_Y(y) \) fonksiyonunun integralinin bu aralık içinde alınması, rassal değişkenin bu aralıktaki olasılığını verir.

Ayrık bir rassal değişken \( X \) için olasılık kütle fonksiyonu şu şekilde ifade edilebilir:

\[f_X(x) = \begin{cases} \Pr(X = x), & \text{eğer } x \in S \\0, & \text{eğer } x \notin S \end{cases}\]

Burada \( S \), rassal değişken \( X \)'in alabileceği değerler kümesidir.

Bir metal paranın havaya atılması ve yazı veya tura gelmesinin gözlemlenmesi şeklindeki bir denemeyi ele alalım. Bu tür bir denemenin iki kesin sonucu vardır: yazı gelirse 0, tura gelirse 1. Bu durumda olasılık kütle fonksiyonu şu şekilde tanımlanabilir:

\[f_X(x) = \begin{cases} 0.5, & \text{eğer } x = 0 \text{ veya } x = 1 \\0, & \text{diğer durumlar}\end{cases}\]

Bu örnek, olasılık kütle fonksiyonlarının nasıl çalıştığını açıklamak için basit bir yol sağlar. Olasılık kütle fonksiyonları, ayrık rassal değişkenler için belirli bir değere sahip olma olasılığını tanımlar ve bu değerlerin toplamı 1 olmalıdır.

Olasılık fonksiyonları, ayrık ve sürekli rassal değişkenlerin olasılıklarını matematiksel olarak ifade eder. Ayrık rassal değişkenler için olasılık kütle fonksiyonu (PMF) ve sürekli rassal değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu (PDF) kullanılır. Bu fonksiyonlar, istatistik ve olasılık teorisinin temel taşlarıdır ve birçok uygulamada geniş bir kullanım alanına sahiptir.