Türevli bir fonksiyonun belirli bir aralık üzerinde artan veya azalan olup olmadığını belirlemek için, o fonksiyonun türevinin söz konusu aralıkta aldığı değerlere bakılır. Bu, matematik analizde fonksiyonların davranışlarını anlamak için kritik bir yöntemdir.

Bir fonksiyonun artan bir fonksiyon olup olmadığını belirlemek için, fonksiyonun aldığı x değerleri arttığında, fonksiyonun görüntülerinin de sayısal değerlerinin artıp artmadığına bakılır. Eğer x değerleri arttıkça fonksiyonun değerleri de artıyorsa, bu fonksiyon artan bir fonksiyondur. Matematiksel olarak, bir fonksiyon f(x) belirli bir aralıkta sürekli ve türevlenebilir ise ve bu aralıkta f'(x) > 0 ise, f(x) artan bir fonksiyon olarak adlandırılır.

Bir fonksiyonun azalan bir fonksiyon olup olmadığını belirlemek için, fonksiyonun aldığı x değerleri azaldığında, fonksiyonun görüntülerinin de sayısal değerlerinin azalıp azalmadığına bakılır. Eğer x değerleri azaldıkça fonksiyonun değerleri de azalıyorsa, bu fonksiyon azalan bir fonksiyondur. Matematiksel olarak, bir fonksiyon f(x) belirli bir aralıkta sürekli ve türevlenebilir ise ve bu aralıkta f'(x) < 0 ise, f(x) azalan bir fonksiyon olarak adlandırılır.

Fonksiyonların artan ya da azalan olup olmadığını grafikler üzerinden de anlayabiliriz. Belirli bir ivme doğrultusunda yukarıya doğru yükselen bir çizgi halinde olan fonksiyonlar artan fonksiyonlardır. Belirli bir ivme ile aşağıya doğru çizgi halinde olan fonksiyonlar ise azalan fonksiyonlardır. Başka bir dil ile anlatacak olursak, türevinin değeri sıfırdan büyük olan fonksiyonlar artan, sıfırdan küçük olan fonksiyonlar ise azalan fonksiyonlar olarak tanımlanır.

Artan ve azalan fonksiyonların analizinde çeşitli örnek ve uygulamalar da kullanılabilir:

• Bir fonksiyonun belirli bir aralıkta artan veya azalan olup olmadığını belirlemek için, türev değerlerini inceleyerek analiz yapmak.
• Reel hayat uygulamalarında, ekonomik modeller ya da fiziksel olayların analizi için fonksiyonların davranışlarını incelemek.
• Optimizasyon problemlerinde maksimum ya da minimum değerlerin belirlenmesinde fonksiyonların artan ya da azalan olup olmadığını kullanmak.