Hiperbolik fonksiyonlar, matematikte sıradan trigonometrik fonksiyonların analoğudur. Hiperbolik sinüs (sinh) ve hiperbolik kosinüs (cosh), bu fonksiyonlardan türetilmiş olan hiperbolik tanjant (tanh) gibi diğer fonksiyonlar temel hiperbolik fonksiyonlardır. Ters hiperbolik fonksiyonlar ise (arsinh, arcosh) adıyla bilinir ve bunlar, hiperbolik fonksiyonların tersini ifade ederler.

Hiperbolik fonksiyonlar, zincir eğrisi olarak da bilinen catenary eğrisini tanımlayan denklemlerle, ısı transferi, elektromanyetik teori, özel görelilik ve akışkanlar dinamiği gibi çeşitli fizik dallarında önemli bir denklem olarak kabul edilen Kartezyen koordinat sisteminde Laplace denklemi gibi denklemlerin çözümlerinde görülmektedir.

Hiperbolik açı olarak adlandırılan bağımsız değişkenler açısından hiperbolik fonksiyonların değerleri gerçektir. Karmaşık analizde ise üstel fonksiyonların rasyonel fonksiyonları, yani meromorf fonksiyonlar olarak kabul edilirler. Hiperbolik fonksiyonlar ilk olarak 1760'lı yıllarda Johann Heinrich Lambert ve Vincenzo Riccati tarafından bağımsız olarak tanımlanmıştır. Lambert, fonksiyonlar için günümüzde kullanılan kısaltmaları kullanmıştır. Riccati tarafından kullanılan Sh ve Ch gibi hiperbolik kısaltmalar ise Rusça ve Fransızca gibi dillerde kullanılmaktadır.

Hiperbolik sinüs ve kosinüs (sinh ve cosh) fonksiyonları, aşağıdaki gibi tanımlanır:

Bu fonksiyonlar tüm reel sayılar kümesinde tanımlıdır.

Diğer trigonometrik fonksiyonlarda olduğu gibi, hiperbolik fonksiyonlarda da çeşitli özdeşlikler bulunmaktadır. Bu özdeşliklerin kanıtlanması genellikle daha kolaydır. Örneğin:

Hiperbolik fonksiyonlar, karmaşık düzlemde dairesel açılarla ifade edilebilir. Bu fonksiyonlar yardımcı fonksiyonlar olarak kullanılır. Bu sayede, birçok fonksiyonun integral fonksiyonu alınabilir. Ancak, matematikle uğraşanlar genellikle bu fonksiyonları bilmezler, çünkü günlük matematiksel işlemlerde bu fonksiyonlara sıkça ihtiyaç duyulmaz. Uygulamalarda ise daha çok integral almada faydalı olabilirler.

Hiperbolik fonksiyonlar, çeşitli mühendislik ve fizik problemlerinin çözümünde önemli bir rol oynar. Örneğin:

Sonuç olarak, hiperbolik fonksiyonlar matematiksel analizde ve uygulamalı bilimlerde geniş bir kullanım alanına sahiptir ve bu fonksiyonların özellikleri ve uygulamaları, daha derin matematiksel ve fiziksel anlayışlar sağlar.