Fonksiyon, A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A'nın (Tanım kümesi) her bir elemanının B'nin (Değer kümesi) yalnızca bir elemanına eşleyen ilişkiye denir. Bir fonksiyonun gerçek bir fonksiyon olabilmesi için tanım kümesinde boşta herhangi bir eleman kalmamalı, her eleman değer kümesinden biriyle eşleşmeli ve tanım kümesinin herhangi bir elemanı değer kümesine iki defa gitmemelidir. Değer kümesinde boşta eleman kalabilir.

Örneğin, A kümesindeki elemanlar yirmi, otuz, kırk olsun ve B kümesindeki elemanlar kitap, defter, kalem, silgi olsun. A'dan B'ye bir fonksiyon oluşturmak istiyorsak, A kümesindeki elemanları B kümesindeki elemanlara eşleştirmeliyiz. Fonksiyonlar liste veya şema yöntemi ile gösterilebilir. A'dan B'ye tanımlanacak bir fonksiyon şu şekilde olabilir:

f = {(Yirmi, kitap), (Otuz, defter), (Kırk, silgi)}

Burada B kümesinden kalem boşta kalmış, ama bu bizim için önemli değildir. Bu bir fonksiyondur. Önemli olan A kümesinden boşta eleman kalmamasıdır. Fonksiyonlar; birebir fonksiyon, örten fonksiyon, içine fonksiyon, sabit fonksiyon ve birim fonksiyon olarak çeşitlendirilebilir.

A kümesinden B kümesine tanımlanan bir fonksiyonda, A kümesinin farklı elemanlarını B kümesinin farklı elemanlarına eşleyen fonksiyona birebir fonksiyon denir. Örneğin, A kümesi bir, iki, üç elemanlarından oluşsun; B kümesi de beş, altı, yedi, sekiz elemanlarından oluşsun. A kümesinden B kümesine bir birebir fonksiyon yaparsak şu şekilde olabilir:

f = {(Bir, beş), (İki, altı), (Üç, yedi)}

F = {(Bir, beş), (İki, altı), (Üç, beş)} fonksiyonu ise birebir fonksiyon değildir. Çünkü A kümesinden iki (Bir ile Üç) eleman, B kümesinden iki farklı elemana değil de yalnızca bir elemana (Beş) eşleşmiştir.

Birebir fonksiyonların bazı özellikleri şunlardır:

Birebir fonksiyonlar, matematiksel analizde ve cebirde önemli bir rol oynar. Örneğin, diferansiyel denklemlerin çözümlerinin eşsizliklerini belirlemede kullanılırlar. Ayrıca, bu fonksiyonlar, grupların ve halkaların homomorfizmlerinde önemli bir yere sahiptir.

Birebir fonksiyonlar, bilgisayar bilimlerinde de kullanılır. Veri tabanlarında ve algoritmalarda, verilerin benzersiz eşleşmelerle yönetilmesi gerektiğinde birebir fonksiyonlardan yararlanılır.