Birebir ve Örten Fonksiyon Birebir fonksiyon, tanım kümesindeki her elemanın görüntü kümesinde tek ve tek bir karşılığı varsa fonksiyon birebirdir. Örneğin; F: R → R ve f(x) = 2x - 5 x değiştikçe 2 katının 5 fazlası da değişecektir. Bunu ispatlayalım. İki farklı elemanın \( x_1 \) ve \( x_2 \) 'nin görüntüleri eşit olsun. \( f(x_1) = 2x_1 - 5 \) \( f(x_2) = 2x_2 - 5 \) \( 2x_1 - 5 = 2x_2 - 5 \) \( 2x_1 = 2x_2 \) \( x_1 = x_2 \) Görüntüleri eşitleyen denklemin bir çözümü \( x_1 = x_2 \)'dir. Fakat biz \( x_1 \neq x_2 \) almıştık. Tersi bir örnekle ek olarak daha iyi anlaşılacaktır. Örnek: f: R → R ve f(x) = x² - 2 ise fonksiyon birebir midir? Çözüm: Bu durumda, örneğin hem f(-3) = 7 hem de f(3) = 7 çıkar. Her sayının hem bir negatif hem bir de pozitif değeri aynı görüntüyü verir, başka bir deyişle fonksiyon birebir değildir. Evvelki örnekteki benzeri genel bir kanıt yaparsak: \( f(x_1) = x_1^2 - 2 \) \( f(x_2) = x_2^2 - 2 \) \( x_1^2 - 2 = x_2^2 - 2 \) \( x_1^2 = x_2^2 \) \( x_1 = x_2 \) veya \( x_1 = -x_2 \) Görüntüleri eşitleyen denklemin iki çözümü var. Bir tanesi \( x_1 = x_2 \) olmalı diyor, fakat ötekisi, bir tanesi diğerinin zıt işaretlisi olabilmektedir diyor. Bu örnekten anlaşıldığı üzere yalnızca x'in çift üslerini içeren fonksiyonlar eğer tanım kümesi uygunsa birebir değildir. Yukarıdaki örnekte fonksiyonu şu şekilde tanımlasaydık birebir olacaktı: Örnek: Aşağıda bağıntılardan hangileri bir fonksiyon değildir? İnsanlar kümesinden meslekler kümesine tanımlanan ve her insanı bizzat mesleği ile eşleştiren bağıntı fonksiyon mudur? Çözüm: Bu bağıntının fonksiyon olması için her kişinin en çok bir ve en az bir adet mesleği olmalıdır. Halbuki gerçekte bazı kişilerin iki mesleği olabilir veya bazı insanların mesleği olmayabilir. Bu bağıntı fonksiyon değildir.
Çözüm: Bu bağıntının fonksiyon olması için her hayvanın en çok bir ve en az bir adet yuvası olmalıdır. Halbuki gerçekte bazı hayvanların yuvası olmadığını biliyoruz. Bu bağıntı fonksiyon değildir.
Çözüm: Bu bağıntının fonksiyon olması için her çocuğun en çok bir ve en az bir adet babası olmalıdır. Gerçekte her çocuğun kesinlikle bir babası mevcuttur ve bir çocuğun iki babasının olması bilimsel olarak mümkün değildir. Bu bağıntı fonksiyondur. Unutmayın: Birden çok çocuğun aynı babaya sahip olması fonksiyon olmayı bozmaz.
Çözüm: Bu bağıntı da fonksiyondur. Çünkü her işçinin bir ücreti kesinlikle vardır. Hiçbir patron bir işçiye iki farklı ücret vermeyeceğine göre her işçinin en çok bir adet ücreti bulunur. O halde bu bağıntı fonksiyondur. Fonksiyonlar çoğunlukla yapılmış olan eşlemeyi anlatan kurallarla verilir. Örnek: F: A = {1, 2, 3} → B f(x) = 2x + 3 Fonksiyonunun sıralı ikililerini yazalım: Burada tanım kümesinin elemanları (orijinaller) verilmiş ama görüntüler verilmemiştir. Fonksiyonun kuralında x yerine orijinalleri yerleştirerek görüntüleri bulacağız. 1'in görüntüsü \( f(1) = 2 \cdot 1 + 3 = 5 \) 2'nin görüntüsü \( f(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7 \) 3'ün görüntüsü \( f(3) = 2 \cdot 3 + 3 = 9 \) F = { (1, 5), (2, 7), (3, 9) } biçiminde gösterilir. |
.jpg "Böbrek Fonksiyonları Nelerdir?")
Nuhi
12 Temmuz 2024 CumaFonksiyon olması için her kişinin en çok bir ve en az bir adet mesleği olmalıdır diyor, peki bir kişinin birden fazla mesleği varsa bu bağıntıyı nasıl fonksiyon yapabiliriz?
Cevap yazAdmin
12 Temmuz 2024 CumaNuhi, bir kişinin birden fazla mesleği varsa, bu bağıntı fonksiyon olma özelliğini kaybeder. Çünlü bir fonksiyonun tanım gereği her bir girdinin (kişinin) yalnızca bir çıktısı (mesleği) olması gerekir. Bu durumda, ya kişinin bir tane ana mesleği belirlenmeli ya da bağıntı fonksiyon olarak kabul edilmemelidir. Mesela, kişinin dominant veya en çok tercih ettiği mesleği seçerek bağıntı fonksiyon yapılabilir.