Ters Fonksiyon

Fonksiyon: A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A'nın (Tanım kümesi) B'nin (Değer kümesi) yalnızca bir elemanına eşleyen ilişkiye fonksiyon denir. Bir fonksiyona gerçekten fonksiyon diyebilmemiz için tanım kümesinde boşta herhangi bir eleman kalmayacak, değer kümesinden biriyle eşleşecek ve tanım kümesinin herhangi bir elemanı değer kümesindeki bir elemana iki defa gitmeyecek. Değer kümesinde boşta eleman kalabilir. Örneğin A kümesindeki elemanlar telefon, telgraf, faks olsun ve B kümesindeki elemanlar da saat, zaman, dakika, saniye olsun. A'dan B'ye bir fonksiyon tanımlayacak olursak A kümesindeki elemanları B kümesindeki elemanlara eşlemeliyiz. Fonksiyonlar liste yöntemi veya şema yöntemi ile gösterilebilir. A'dan B'ye liste yöntemiyle bir fonksiyon tanımlayacak olursak şöyle gösterebiliriz: f={(Telefon, zaman), (Telgraf, saniye), (Faks, dakika)}. Bu fonksiyonda B kümesindeki 'saat' elemanının karşılığı tanım kümesinde yoktur fakat bu yine de bir fonksiyondur. Çünkü bizim için önemli olan tanım kümesindeki elemanların boşta kalmamasıdır. Bu fonksiyon tanımlayabildiğimiz fonksiyonlar içinde sadece bir tanesidir. Bunun gibi altmış üç tane daha fonksiyon yapabiliriz. A'dan B'ye tanımlanacak fonksiyon sayısı, A kümesindeki eleman sayısını B kümesindeki eleman sayısına üs olacak şekilde bulunur. Yani A kümesinde üç eleman B kümesinde dört eleman olduğuna göre; dört üzeri üç =4*4*4=64 eder. Fonksiyonlar; bire-bir, içine, örten, sabit ve birim fonksiyonlar olmak üzere çeşitlendirilebilir ve bu fonksiyon çeşitlerinin özelliklerini kullanarak çeşitli fonksiyonel işlemler yapılabilir.

A kümesinden B kümesine tanımlanan bir fonksiyonda A kümesindeki her bir elemanın B kümesindeki elemanla yer değiştiği fonksiyona ters fonksiyon denir. Ters fonksiyon olabilmesi için fonksiyonun bire-bir ve örten olması gerekiyor. Yani örneğin yukarıda örneğini verdiğim fonksiyonda ters fonksiyon olma durumu yoktur. Çünkü örten olmazsa ters fonksiyon ile tanım ve değer kümeleri yer değiştirdiğinden B kümesindeki elemanlardan bir tanesi boşta kalacağı için fonksiyon tanımımıza uygun değildir. Aynı şekilde bire-bir fonksiyon olmazsa eğer tanım kümesinde iki eleman değer kümesindeki aynı elemana gitmişse, fonksiyon ters çevrildiğinde bu sefer bu sefer tanım kümesinden bir eleman değer kümesindeki iki farklı elemana gitmiş olacak ki bu da fonksiyon olamaz demektir. Bire-bir fonksiyon, tanım kümesindeki her bir elemanın değer kümesinde sadece bir karşılığı olması demektir. Örten fonksiyon ise değer kümesi ile görüntü kümesinin aynı olduğu yani değer kümesinde boşta elemanın kalmadığı fonksiyon demektir. Ters fonksiyona örnek verecek olursak: f (5)=17 ise f üzeri -1 şeklinde 17, 5'e gider.