İkinci Dereceden Fonksiyonlar
İkinci dereceden fonksiyonlar, koordinat sisteminde grafiği parabol eğrisi şeklinde olan fonksiyonlardır. Bu fonksiyonlar genel olarak aşağıdaki gibi tanımlanır:
a, b, c birer reel (gerçek) sayı olmak üzere ve a ≠ 0 olacak şekilde, f: R → R ve y = f(x) = ax² + bx + c şartı ile belirtilen fonksiyonlar ikinci dereceden fonksiyonlar olarak adlandırılır.
Örnekler: - f(x) = 3x² - 2x + 5 ikinci dereceden fonksiyonunda a = 3, b = -2, c = 5'tir.
- f(x) = 1 - 3x² ikinci dereceden fonksiyonunda a = -3, b = 0, c = 1'dir.
İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafiğinin Çizilmesi
f(x) = ax² + bx + c şeklinde tanımlanan ikinci dereceden fonksiyonun grafiği, koordinat sisteminde parabol şeklindedir. Bu parabol eğrisinin çizilmesi için şu aşamalar takip edilmelidir:
1. Parabolün kollarının baktığı yön bulunur. - a > 0 ise kollar yukarı doğru bakar.
- a < 0 ise kollar aşağı doğru bakar.
2. Tepe noktasının koordinatları hesaplanır. - Tepe noktası (T.N.) şu formülle bulunur: T.N. (-b/2a, (4ac - b²)/4a)
- Ya da y' = 0 olarak tepe noktasının apsisi bulunur. Verilen fonksiyonda yerine yazılarak tepe noktasının ordinatı bulunur. (y': y'nin türevidir)
3. Grafiğin koordinat sistemini kesip kesmediği ve kesiyorsa, kestiği noktalar bulunur. - x = 0 için y eksenini kestiği nokta
- y = 0 için x eksenini kestiği nokta
- ax² + bx + c = 0 fonksiyonunda Δ (delta) = b² - 4ac ibaresi hesaplanır.
- Δ > 0 ise parabol x eksenini iki farklı noktada keser.
- Δ = 0 ise parabol x eksenine teğettir.
- Δ < 0 ise parabol x eksenini kesmez.
4. Değişim tablosu hazırlanır. (Denklemde bazı belirgin noktalar yerleştirilerek parabol daha kolay şekillenir.)
5. Tepe noktası, parabolün grafiği kestiği noktalar ve değişim tablosunda belirlenen noktalar koordinat sisteminde gösterilir.
Örnek: R'den R'ye tanımlı f(x) = x² + 2x + 4 ikinci dereceden fonksiyonu için: - A) Parabolün kollarının baktığı yönü bulunuz.
- B) Tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
- C) Koordinat sistemini kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm
- A) a > 0 ise kollar yukarı bakar kuralına göre; verilen denklemde a = 1 olduğuna göre parabol grafiğinin kolları yukarı bakar.
- B) T.N. (-b/2a, (4ac - b²)/4a) = T.N. (-2/2, (4*1*4 - 4)/4) = T.N. (-1, 3)
- C) Δ = b² - 4ac → Δ = 4 - 4*1*4 → Δ = -12; Δ < 0 için parabol x eksenini kesmez.
- x = 0 için, 0*0 + 2*0 + 4 = y → y = 4 (0, 4)
Örnek: R'den R'ye tanımlı f(x) = x² + 3x - 4 şeklinde verilen ikinci dereceden fonksiyonu için: - A) Parabolün kollarının baktığı yönü bulunuz.
- B) Tepe noktasının koordinatlarını bulunuz.
- C) Koordinat sistemini kestiği noktaları bulunuz.
Çözüm
- A) a > 0 ise kollar yukarı bakar kuralına göre; verilen denklemde a = 1 olduğuna göre parabol grafiğinin kolları yukarı bakar.
- B) T.N. (-b/2a, (4ac - b²)/4a) = T.N. (-3/2, (4*1*(-4) - 9)/4) = T.N. (-3/2, -25/4)
- C) Δ = b² - 4ac → Δ = 9 - 4*1*(-4) → Δ = 9 + 16 → Δ = 25; Δ > 0 için parabol x eksenini iki farklı noktada keser.
- x = 0 için f(0) = 0 + 0 - 4 = -4; Parabolün y eksenini kestiği nokta (0, -4)'tür.
- y = 0 için x² + 3x - 4 = 0; x² + 3x = 4; x(x + 3) = 4 → x = 1 veya x = -4; Parabolün x eksenini kestiği noktalar (-4, 0) ve (1, 0)'dır.
|
