Fonksiyon, A ve B boş olmayan iki küme olmak üzere, A'nın (tanım kümesi) her bir elemanını B'nin (değer kümesi) yalnızca bir elemanına eşleyen ilişkiye denir. Bir ilişkinin gerçekten fonksiyon olarak adlandırılabilmesi için, tanım kümesinde boşta herhangi bir eleman kalmamalı, her eleman değer kümesinden bir elemanla eşleşmelidir ve tanım kümesinin herhangi bir elemanı değer kümesinden iki farklı elemana gitmemelidir. Değer kümesinde ise boşta eleman kalabilir.

Örneğin, A kümesindeki elemanlar bir, iki, üç olsun ve B kümesindeki elemanlar Ahmet, Mehmet, Ayhan, Burak olsun. A'dan B'ye tanımlanacak bir fonksiyon oluşturabilmemiz için, A'daki elemanları B'deki elemanlara eşlemeliyiz. Fonksiyonlar liste veya şema yöntemi ile gösterilebilir. A'dan B'ye tanımlanacak bir fonksiyonu liste yöntemiyle yazacak olursak: f={(Bir, Ahmet), (İki, Mehmet), (Üç, Burak)} gibi bir fonksiyon elde edilebilir. Burada görüntü kümesinden bir eleman olan Ayhan'a eşlenecek bir tanım kümesi elemanı kalmadı ama bu yine de bir fonksiyondur. Bizim için önemli olan tanım kümesinden bir elemanın boşta kalmamasıdır.

Bu yalnızca oluşturabileceğimiz fonksiyonlardan bir tanesidir. Toplam oluşturulabilecek fonksiyon sayısı ise A kümesindeki eleman sayısının B kümesindeki eleman sayısına üs olarak yazılıp çıkan sonuçtur. Yani, A'dan B'ye tanımlanabilecek toplam fonksiyon sayısı 4^3 = 64 tür. Fonksiyonlar; örten fonksiyon, içine fonksiyon, birim fonksiyon, bire-bir fonksiyon ve sabit fonksiyon olarak sınıflandırılabilir.

Birim fonksiyon, A'dan A'ya tanımlanan ve A'nın her bir elemanını yine kendisiyle eşleştiren fonksiyon olarak tanımlanır. Örneğin, A kümesi hayvan, bitki ve canlı elemanlarından oluşsun. A'dan A'ya tanımlanacak birim fonksiyon; f={(Bitki, bitki), (Hayvan, hayvan), (Canlı, canlı)} şeklinde olur.

Sayısal bir örnek verecek olursak; f bir birim fonksiyon olmak üzere f(x) = x ise, x değerini bulalım. Şimdi, birim fonksiyonda tanım kümesi ile değer kümesi aynıdır. Dolayısıyla tanım kümesindeki eleman kendisiyle eşleşir. Birim fonksiyonun matematiksel ifadesi f(x) = x'tir. Örneğin, x = 2 olduğunda, f(2) = 2 olur.

Birim fonksiyonlar, matematiksel analiz ve soyut cebirin temel kavramlarından biri olup, fonksiyon teorisinin anlaşılmasında kritik bir rol oynar. Bu nedenle, birim fonksiyonların özelliklerini ve uygulamalarını derinlemesine anlamak, matematiksel düşünceyi geliştirme açısından büyük önem taşır.