Bileşke fonksiyonun türevi, iki fonksiyon olan \( f \) ve \( g \) kullanılarak tanımlanır. Eğer \( h(x) = f(g(x)) \) ise, bu durumda \( h \) fonksiyonu, \( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının bileşke fonksiyonu olur.

\( f \) ve \( g \) fonksiyonlarının bileşkesi olan \( h \)'nin tanım kümesi, \( g \)'nin tanım kümesinde bulunan ve \( g(x) \) değeri \( f \)'nin tanım kümesinde bulunan bütün \( x \) sayılarıdır. Matematiksel olarak ifade edecek olursak:

\(\{ x \in \mathbb{R} \mid g(x) \text{ ile } f(g(x)) \text{ tanımlı} \}\)

Eğer \( f(x) = x^{10} \) ve \( g(x) = 2x + 1 \) fonksiyonları verilmişse, bileşke fonksiyon \( h(x) = f(g(x)) = (2x + 1)^{10} \) olur. Bu durumda \( h \) fonksiyonunun tanım kümesi, bütün reel sayılar kümesi olan \( \mathbb{R} \) olur.

Bir fonksiyonun türevini alırken, eğer bu fonksiyon bir bileşke fonksiyon ise, zincir kuralı kullanılır. Zincir kuralı şu şekilde ifade edilir:

Eğer \( y = f(u) \) ve \( u = g(x) \) ise, bu durumda \( y = h(x) = f(g(x)) \) bileşke fonksiyonunun türevi şu şekilde hesaplanır:

\[ y' = h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Başka bir gösterimle bu; \[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} \] şeklinde ifade edilir.

Yani, \( f(x) \) ile \( g(x) \) arasında tanımlı fonksiyon olursa, \( (f \circ g)(x) \) bileşke fonksiyonunun türevi şu şekilde olur:

\[ (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]

Umarım bu açıklamalar bileşke fonksiyonların türevini anlamanızı kolaylaştırır. Ekstra bilgi ve örneklerle konuyu pekiştirmek, matematiksel düşünme yeteneğinizi geliştirecektir.