İki fonksiyonun bileşkesi, verilen iki ayrı fonksiyonun birleştirilmesi sonucu oluşan tek bir fonksiyona denir. Bu kavram, bir işlemin sonucunun başka bir işlemin girdisi olarak kullanılması durumunda ortaya çıkar.

Bir fabrika ürettiği ürünü %30 karla toptancıya satar. Toptancı da aldığı bu ürünü %15 karla müşteriye satar. Müşterinin malı ne kadar zamlı fiyattan aldığını hesaplamak için iki işlemi birleştirmek gerekir. Bu örnekte müşteri ürünü %49.5 karla zamla almaktadır.

Bir x sayısı, f fonksiyonuna girip işleme uğradıktan sonra 3 kat genişliyor ve ürüne 2 parça ekleniyor. Yani f fonksiyonu ürünü 3x + 2 haline getiriyor. Bu f fonksiyonundan çıkan ürün (3x + 2), hemen g fonksiyonuna giriyor. g fonksiyonu da ürünü 2 kat genişletiyor ve üründen 1 parça çıkarıyor. Yani g fonksiyonu ürüne şu işlemi uyguluyor: 2(3x + 2) - 1 = 6x + 4 - 1 = 6x + 3. f fonksiyonuna giren x ürünü, f ve g fonksiyonlarının bileşiminden 6x + 3 olarak çıkmaktadır. Tarif edilen bu süreç iki fonksiyonun bileşkesi işlemidir.

Fonksiyonlar şu şekilde tanımlanır:

Bu durumda, bileşke fonksiyon h: A → C şu şekilde tanımlanır: h(X) = z = g(f(X)) = (g ∘ f)(X). Bu işlem, g bileşke f fonksiyonu yani iki fonksiyonun bileşkesidir.

f ve g fonksiyonları R'den R'ye tanımlı iki fonksiyondur:

Bu verilere göre aşağıdaki soruları cevaplayalım:

A) (g ∘ f)(X) = ?

B) (f ∘ g)(X) = ?

C) (g ∘ f)(3) = ?

D) (f ∘ g)(4) = ?

f, g ve h fonksiyonları R'den R'ye tanımlı fonksiyonlardır:

Bu verilere göre aşağıdaki değerleri hesaplayalım:

A) [(g ∘ f) ∘ h](X) = ?

B) [(h ∘ g) ∘ f](X) = ?

A) İşlemi kolaylaştırmak için önce (g ∘ f)(X) bileşke fonksiyonunu bulalım:

Şimdi, (g ∘ f) ∘ h(X) bileşkesini bulalım:

B) İşlemi kolaylaştırmak için önce (h ∘ g)(X) bileşke fonksiyonunu bulalım:

Şimdi, (h ∘ g) ∘ f(X) bileşkesini bulalım:

Bileşke işleminin bazı özellikleri bulunmaktadır:

f ve g birebir ve örten fonksiyonlar olmak üzere, (f ∘ g)-1 = g-1 ∘ f-1.

(f-1)-1 = f.