(f. g) (x) Fonksiyonunun Türevi Nasıl Hesaplanır?Türev, bir fonksiyonun değişim hızını, yani o fonksiyonun grafiğinin eğimini ölçen bir matematiksel kavramdır. İki veya daha fazla fonksiyonun çarpımından oluşan bir fonksiyonun türevini hesaplamak için, genellikle çarpım kuralı kullanılır. Bu makalede, (f. g) (x) fonksiyonunun türevini hesaplamak için gerekli adımları detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. 1. Çarpım Kuralı Nedir?Çarpım kuralı, iki fonksiyonun çarpımının türevini hesaplamaya yarayan bir formüldür. Eğer f(x) ve g(x) iki farklı fonksiyon ise, bu durumda çarpım kuralı şu şekilde ifade edilir:
Bu formül, f(x) ve g(x) fonksiyonlarının türevlerini almayı ve bu türevleri uygun şekilde çarparak toplamayı içerir. 2. (f. g) (x) Fonksiyonunun Türevini Hesaplama
Örnek vermek gerekirse, f(x) = x^2 ve g(x) = sin(x) fonksiyonlarını ele alalım.
Bu durumda, çarpım kuralını uygulayarak türevi şu şekilde hesaplayabiliriz:
Sonuç olarak, (f. g) (x) fonksiyonunun türevi 2x sin(x) + x^2 cos(x) olarak bulunur. 3. Örneklerle AnlatımDaha iyi anlamak için farklı fonksiyonlar üzerinde çarpım kuralını uygulayalım: Örnek 1: f(x) = e^x, g(x) = ln(x) olsun.
Türev:
Örnek 2: f(x) = x^3, g(x) = cos(x) olsun.
Türev:
4. SonuçEkstra BilgiTürev hesaplama, yalnızca matematiksel bir işlem olmayıp, fizik, mühendislik ve ekonomi gibi birçok alanda da önemli bir yer tutmaktadır. Özellikle, bir sistemin değişim hızını anlamak, optimizasyon problemlerini çözmek ve grafiklerin davranışını analiz etmek için türev bilgisine ihtiyaç duyulmaktadır. |
(f. g) (x) fonksiyonunun türevini hesaplamak için çarpım kuralını kullanmak gerektiği belirtilmiş. Acaba bu kuralın nasıl uygulandığını anlamak için bir örnek üzerinden mi geçmek daha faydalı olur? Örneğin, f(x) = x^2 ve g(x) = sin(x) fonksiyonları için adım adım türevi nasıl bulduğunuzu merak ediyorum. 2x sin(x) + x^2 cos(x) ifadesine ulaşırken hangi aşamalardan geçtiniz?
Cevap yazMerhaba Abdülcebbar,
Çarpım kuralı ile türev almanın nasıl yapıldığını anlamak için verdiğin örnek oldukça iyi bir seçim. Çarpım kuralı, iki fonksiyonun çarpımının türevini alırken kullanılır ve şu şekilde ifade edilir:
(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Bu durumda, f(x) = x² ve g(x) = sin(x) olarak belirlediğimizde, türev alma işlemini adım adım inceleyelim:
1. Adım: Türevleri Hesaplama
Öncelikle f(x) ve g(x) fonksiyonlarının türevlerini bulalım:
- f'(x) = (x²)' = 2x
- g'(x) = (sin(x))' = cos(x)
2. Adım: Çarpım Kuralını Uygulama
Şimdi çarpım kuralını kullanarak türevi hesaplayabiliriz:
(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Bu ifadeye, daha önce bulduğumuz türevleri ve fonksiyonları yerine yerleştirerek devam edelim:
= f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
= (2x)sin(x) + (x²)(cos(x))
3. Adım: Sonucu Düzenleme
Sonuç olarak, ifademizi birleştirirsek:
= 2x sin(x) + x² cos(x)
Sonuç olarak, 2x sin(x) + x² cos(x) ifadesine ulaşmış olduk. Çarpım kuralının bu örnek üzerinden nasıl uygulandığını görmek, konuyu daha iyi anlamana yardımcı olacaktır. Başka bir konuda yardıma ihtiyacın olursa, sormaktan çekinme!